• Van Hove 关联函数
  • 公式
  • 和 g(r) 的关系
  • Self 和 Distinct
  • 归一化关系
• 标度律假设
  • 实验结果
  • 标度律假设 Scaling Hypothesis
  • 通过标度律推导关系 1
  • 通过标度律推导关系 2
  • 通过标度律推导关系 3, 4
  • 标度律作出的预言

Van Hove 关联函数

公式

Van Hove 关联函数的公式是

\[\rho G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime} ; t\right)=\left\langle\sum_{\color{orange}i=1}^{N} \sum_{\color{teal}j=1}^{N} \delta\left(\mathbf{r}^{\prime}+\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\color{orange}i}(t)\right) \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\color{teal}j}(0)\right)\right\rangle\]

它的大概意思是，如果在 $t=0$ 时刻粒子 $\color{teal}j$ 处于位置 $\bf{r}$，那么在 $t=t$ 时刻在位置 $\bf{r + r^{\prime}}$ 找到某个粒子 $\color{orange} i$ 的「平均」次数。¹

这个公式实际上计算的是 密度 在「时间和空间上」的关联，也可以写成

\[\rho G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime} ; t\right)=\left\langle\rho\left(\mathbf{r}^{\prime}+\mathbf{r}, t\right) \rho\left(\mathbf{r}^{\prime}, 0\right)\right\rangle\]

对于均匀分布的系统，这个关联函数只取决于 $\bf{r}$ 与 $\bf{r^{\prime}}$ 的相对距离（因为任何的位置 $\bf{r}$ 都是相同的）。如果我们用 $\bf{\color{tomato}r}$ 表示距离，则我们可以把关联公式通过积分改写成

\[G(\mathbf{\color{tomato}r}, t)=\frac{1}{N}\left\langle\sum_{\color{orange}i=1}^{N} \sum_{\color{teal}j=1}^{N} \delta\left(\mathbf{\color{tomato}r}-\mathbf{r}_{\color{orange}i}(t)+\mathbf{r}_{\color{teal}j}(0)\right)\right\rangle\]

它的意思大概是，找到 $t=0$ 时的粒子 $\color{teal}j$；$t=t$ 时的粒子 $\color{orange} i$；并且两个粒子的距离为 $\bf{\color{tomato}r}$ 的概率。

和 g(r) 的关系

如果 $t=0$，那么我们有

\[\begin{aligned} G(\mathbf{\color{tomato}r}, 0) &= \frac{1}{N}\left\langle\sum_{\color{orange}i=1}^{N} \sum_{\color{teal}j=1}^{N} \delta\left(\mathbf{\color{tomato}r}-\mathbf{r}_{\color{orange}i}(0)+\mathbf{r}_{\color{teal}j}(0)\right)\right\rangle\\[0.5em] &=\delta(\mathbf{\color{tomato}r}) + \rho \ g(\mathbf{\color{tomato}r}) \end{aligned}\]

注意上面 $ G(\mathbf{\color{tomato}r}, 0) $ 和径向分布函数 $ g(\mathbf{\color{tomato}r}) $ 的关系。

Self 和 Distinct

我们可以把 Van Hove 关联函数拆分成 self 部分和 distinct 部分，

\[\begin{aligned} G_\textsf{self}(\mathbf{\color{tomato}r}, t) &=\frac{1}{N}\left\langle\sum_{\color{orange}i=1}^{N}\delta\left(\mathbf{\color{tomato}r}-\mathbf{r}_{\color{orange}i}(t)+\mathbf{r}_{\color{orange}i}(0)\right)\right\rangle \\[1em] G_\textsf{distinct}(\mathbf{\color{tomato}r}, t) &=\frac{1}{N}\left\langle\sum_{\color{lightblue}{i\neq j}}^{N}\delta\left(\mathbf{\color{tomato}r}-\mathbf{r}_{\color{teal}j}(t)+\mathbf{r}_{\color{teal}j}(0)\right)\right\rangle \end{aligned}\]

这里的 self 部分告诉我们，一个粒子在时间 $t$ 内移动了距离 $\mathbf{\color{tomato}r}$ 的概率。

这里的 distinct 部分告诉我们，如果粒子 $i$ 在 $t=0$ 时处于原点 $\mathbf{0}$，那么在 $ t=t $ 时，粒子 $ j $ 从 $ r_{\color{teal}j}(0) $ 到 $ \mathbf{r}_{\color{teal}j}(t) $ 的「位移」等于 $ \mathbf{\color{tomato}r} $ 的概率。

归一化关系

在任意时刻，$G(\mathbf{\color{tomato}r}, t)$ 对空间的积分都应该等于一。所以我们有

\[\begin{aligned} \int d\mathbf{\color{tomato}r}\ G_\textsf{self}(\mathbf{\color{tomato}r}, t) &= 1 \\[1em] \int d\mathbf{\color{tomato}r}\ G_\textsf{distinct}(\mathbf{\color{tomato}r}, t) &= N-1 \end{aligned}\]

标度律假设

这是我阅读书 Exactly Solved Models in Statistical Mechanics 第一章做的笔记。我认为它很好地解释了看起来非常「不讲道理」的 scaling hypothesis 的思想。

实验结果

当我们考虑磁化强度 $M$ 的时候，它与外部磁场 $H$ 以及温度 $T$ 有关。

让我们定义

\[\chi= \frac{\partial M}{\partial T}\]

并且使用约化温度 $t$

\[t = \frac{(T - T_c)}{T_c}\]

一切准备就绪，现在让我们来看下面被人类观测到的，「真实」的关系。

\[\begin{align} M_{H \rightarrow 0^+} &\sim (-t)^\beta \\[1em] M(H, T_c) &\sim H^{1/\delta} \\[1em] \chi(0, T) &\sim t^{-\gamma} & t \rightarrow 0^+ \\[1em] \chi(0, T) &\sim t^{-\gamma'} & t \rightarrow 0^- \end{align}\]

标度律假设 Scaling Hypothesis

我们作出如下的假设

\[\frac{H}{kT_c} = M\ |M|^{\delta-1} \; h_s(t\ |M|^{-1/\beta})\]

其中 $h_s$ 叫做 scaling function。它是一个单调递增的函数。在 $-x_0$ 处取值为 0。它大概长这样。

通过标度律推导关系 1

当 $H=0 \leftrightarrow M = M_0, t<0$ ($M \neq 0$)

当 $H = 0$ 并且 $t < 0$ 时

\[\frac{0}{kT_c} = M\ |M|^{\delta-1} \; h_s(t\ |M|^{-1/\beta})\]

若 $M \neq 0$，那么 $h_s(\dots)$ 必然为 0。 由于 $t < 0$， $h_s(\dots)$ 里一定是一个负数。我们叫它 $-x_0$。那么我们可以推导出上面的第一个关系，

\[\begin{aligned} h_x(-x_0) &= 0 \\ t\ |M|^{1/\beta} &= -x_0\\ \rightarrow |M_0| &= x_0 (-t)^\beta & \text{relation (1)} \end{aligned}\]

通过标度律推导关系 2

当 $T \rightarrow T_c$ 时，$t \rightarrow 0$, $h_s(\dots) \rightarrow h_s(0)$。这个时候我们可以推导出第二个关系，

\[\begin{aligned} \frac{H_{t\rightarrow0}}{kT_c}&= M |M|^{\delta - 1}\;h_s(0) \\ \rightarrow H_{t\rightarrow0} &= kT_c\,h_s(0)\;M^{\delta} & \text{relation (2)} \end{aligned}\]

通过标度律推导关系 3, 4

当我们计算 $\partial H / \partial M$ 的时候，我们可以推导出第三个关系，

\[\begin{aligned} （kT_c\chi）^{-1} &= |M|^{\delta - 1} \left[ \delta h_x(x) - \beta^{-1}\ x\ \frac{\partial h_s(x)}{\partial x} \right] & (x=t|M|^{-1/\beta}) \\[1em] \rightarrow \chi^{-1} &\sim |M_{H=0}|^{\delta - 1} & (H=0 \rightarrow h_x(-x_0)=0) \\[1em] \rightarrow \chi &\sim (-t)^{-\beta(\delta - 1)} & \text{relation (3)} \end{aligned}\]

推导出的结果预言了，$\gamma’ = \beta(\delta - 1)$

对于 t> 0 的情况，我们又下面的关系：当 $M \rightarrow 0$ 时，$H \sim M$。

“真正称职的物理学家”能够推导出

\[\begin{aligned} h_s(x) &\sim x^{\beta(\gamma - 1)} & (x\rightarrow \infty) \end{aligned}\]

由此可以推导出

\[\gamma = \gamma' = \beta(\delta - 1)\]

标度律作出的预言

Scaling hypothesis 作出了下面的预言

\[\begin{aligned} \alpha + 2 \beta + \gamma' &= 2 \\ \nu &= \nu' \\ (2-\eta)\nu &= \gamma\\ \mu + \nu &= 2 - \alpha\\ d \nu &= 2 - \alpha & (d \text{ is the dimension}) \end{aligned}\]

这些预测都有实验和理论验证。

具体的 $h_s(x)$ 的函数的「样子」也有数值求解。总之这个假设看上去是真的。